Physics-informed GNN · 微电网与配电系统

Balanced Power Flow · 平衡潮流

为什么负荷增加时馈线电压会下降？本地发电能否使潮流反向？无功支撑会改变什么？本章从模型推导出发，计算一个具体例题，再通过参数实验与 Python 验证你的预测。

1. 背景：微电网的一个运行快照

潮流计算描述的是一个稳态运行点。给定网络阻抗、负荷、发电与电压参考，求解节点电压，再计算线路电流、功率传输和损耗。对于微电网与配电馈线，这些结果可以帮助判断切换操作前后的电压下降、反向潮流与线路负载情况。

平衡三相系统中，三相幅值相等，相角相差 120°。在阻抗对称、注入平衡的条件下，可以用单相或正序等值分析。平衡不意味着所有节点电压相同，也不意味着无功功率为零。

图中示意一个节点的平衡三相电压：幅值相等、相角相差 120°。不同节点的电压可以不同；改变后续实验的运行点，图中相量也会更新。

本章的模型假设

本章的方程推导和交互实验采用以下假设：

正弦稳态： 电压与电流用有效值复相量表示。
三相平衡： 网络参数对称，负荷与分布式电源在三相上均衡分配。采用单相等值表示网络，P、Q 表示三相总功率。
线路采用串联阻抗： 保留电阻 R 与电抗 X，忽略线路充电、并联支路和变压器。
负荷与分布式电源采用恒定 PQ： 每个运行点的有功 P、无功 Q 为指定值，求解过程中不随电压变化；节点电压幅值和相角由潮流方程求得。
只有一个电压参考： 平衡节点的电压幅值和相角固定，其有功、无功供给平衡网络其余节点的净注入与线路损耗。

这些假设定义通用模型。下方例题再给出具体馈线、节点编号，以及负荷与发电的设置。

对于后续 N-1 预测任务，拓扑与运行点可作为输入，潮流解得到的电压、电流可作为标签或物理一致性检查。求解收敛不等于运行安全：还需要检查限值、连通性与模型适用范围。动态稳定性和保护行为需要另外分析。

2. 推导平衡 AC 潮流方程

步骤 A：统一基准

采用三相总容量基准 S_B 与线电压基准 V_LL,B。相电压基准是 V_LL,B/√3；阻抗基准对应每相阻抗，P、Q 在该容量基准上表示三相总功率。

先确定基准，再把线路阻抗和功率注入换算为标幺值。采用三相总功率基准后，不要把三相总功率再次除以三。

步骤 B：构建节点导纳矩阵

小写 y_ij = 1/z_ij 表示线路串联导纳；大写 Y_ij 表示节点导纳矩阵元素。对角元素 Y_ii 是节点 i 的自导纳，其值累加与 i 相连的所有接通线路的导纳。每条线路为两端的对角元素各加上 y，并从对应的两个非对角元素中减去 y；断开线路时，移除这四项贡献。本例忽略线路充电、并联支路、变压器和互感。

从一条线路到整个 Y 矩阵

先看线路两端的电流，再把它对两个节点的贡献写入矩阵。这里的 i、j、k 是通用节点符号。

先区分符号：小写 y_ij = 1/z_ij 是线路 i–j 的串联导纳；大写 Y_ii 是节点 i 的自导纳，大写 Y_ij 是节点导纳矩阵的非对角元素。下面每格先标元素名称，再写它的值。

跟踪线路

1 · 网络与线路状态

勾选表示线路接通 i–j j–k i–k

Iᵢⱼ = yᵢⱼ (Vᵢ − Vⱼ)

2 · 这条线路对 Y 的贡献（ΔY）

	i	j
i	ΔY_ii= + yᵢⱼ	ΔY_ij= − yᵢⱼ
j	ΔY_ji= − yᵢⱼ	ΔY_jj= + yᵢⱼ

ΔY 表示这条线路对矩阵的增量。展开两端电流方程，这条线路为两端的自导纳各加上 +y，为两个对应的非对角元素各加上 −y；完整 Y 还需累加其他接通线路的贡献。

3 · 把接通线路的贡献相加

Y	i	j	k
i	Y_ii= yᵢⱼ	Y_ij= − yᵢⱼ	Y_ik= 0
j	Y_ji= − yᵢⱼ	Y_jj= yᵢⱼ + yⱼₖ	Y_jk= − yⱼₖ
k	Y_ki= 0	Y_kj= − yⱼₖ	Y_kk= yⱼₖ

浅蓝色对角元素是自导纳，如 Y_ii；其值累加节点 i 所有接通线路的导纳。只有 i–j 接通时，Y_ii = y_ij；再接通 i–k，就变为 Y_ii = y_ij + y_ik。橙色只标出正在跟踪的线路贡献。

本图只含串联线路，忽略并联导纳与变压器：自导纳 Y_ii = Σ y_iℓ（对接通线路求和）；非对角元素 Y_ij = −y_ij，没有接通的直接线路时为零。+、− 表示复数导纳的代数系数，不是其数值的正负。

步骤 C：从电流得到复功率注入

规定向网络供电的净注入为正：P^spec = P_G − P_D，Q^spec = Q_G − Q_D。将基尔霍夫电流定律与 S = VI* 结合：

把发电和负荷合并为节点净注入

箭头定义功率的正方向。若发电少于负荷，净注入为负，网络向该节点供电。P 和 Q 分别计算：增加有功发电并不会自动抵消无功需求。

令 V_i = v_ie^jθᵢ、Y_ij = G_ij + jB_ij、δ_ij = θ_i − θ_j，展开复数乘积：

这里保留了电阻与无功耦合。对于配电馈线，忽略 R 的近似可能丢失电压下降和损耗的重要影响。

步骤 D：确定各节点的已知量与未知量

节点类型	指定量	求解量
平衡 / 参考节点	电压幅值、相角	P、Q 注入
PQ 节点	净 P、Q	电压幅值、相角
PV 节点	P、电压幅值	Q、相角

在本章假设下，负荷和固定 PQ 分布式电源都接在 PQ 节点上。未知量是这些节点的电压相角与幅值，平衡节点电压已知。将未知量组成向量 x = [θ_PQ^T, v_PQ^T]^T。表中的 PV 节点用于完整说明节点分类，它对应电压调节，本章实验不采用该类型。节点分类与非线性功率平衡形式可参见 MATPOWER AC 潮流手册。

步骤 E：用牛顿–拉夫逊方法求解

本章以牛顿–拉夫逊（NR）建立通用的 AC 潮流求解框架：从节点导纳与功率偏差出发，用雅可比矩阵联立修正未知电压。例题虽是配电馈线，后面的实验也允许闭合联络线形成回路，因此选用不依赖树形拓扑的 NR。

三相平衡不是使用 NR 的必要条件。 平衡的辐射型网络同样可以用前推回代；不平衡网络也可以建立三相 NR 方程。下一章将利用单电源、辐射型四线结构，改用电流求和的前推回代，以展示共享中性线与逐相电压的关系。算法选择的原因与适用边界见两种方法的对照。

从平坦电压与零相角开始，计算指定功率与当前计算功率的偏差。J 定义为计算注入对 x 的导数，因此下面的更新采用加号：

一次牛顿迭代在做什么？

初始化电压给出 PQ 节点幅值和相角的初始估计。x⁽⁰⁾ = [θ, v]
计算功率偏差由当前 V 和 Y 算出 P、Q，再与指定量比较。Δs = sˢᵖᵉᶜ − s(x)
检查是否收敛最大偏差是否小于容差？满足则输出电压；否则继续。‖Δs‖∞ < ε ?
求解并更新用雅可比计算修正量，再用步长 α 更新。J Δx = Δsx ← x + α Δx

步骤 3 满足容差 → 输出电压，计算线路功率步骤 4 更新后 ↩ 返回步骤 2

每轮都重新计算功率偏差和雅可比。达到迭代上限或步长停滞时，算法报告未收敛；这与解收敛后检查电压、电流限值是两个不同步骤。

实现采用解析雅可比矩阵、带主元选择的消元和回溯步长 α，使偏差下降并保持电压幅值为正。停止条件为 ‖Δs‖∞ < 10⁻¹⁰ pu；迭代停滞或完成 30 次更新仍不收敛时报告失败。算法不收敛本身并不能证明物理系统不存在解。

展开雅可比矩阵各元素

当 i ≠ j：

当 i = j：

对应的复数矩阵导数可参见 MATPOWER 电压导数文档。

步骤 F：计算线路功率与损耗

根据节点电压计算线路电流，再计算两端注入线路的复功率，其和为线路复损耗。本模型只有串联阻抗，两端电流幅值相同。

3. 例题：400 V 馈线

建立馈线与节点设置

考虑一个 400 V 三节点配电馈线。节点 1 是上级电源，通过线路 1–2 向节点 2 供电，再通过线路 2–3 向下游节点 3 供电。线路 1–3 是常开联络线，后续实验中可以将其闭合，形成替代供电路径。

例题网络：参考电源、两个 PQ 节点与联络线

左右滑动查看完整示意图。

实线形成 1 → 2 → 3 的辐射型馈线，虚线是备用联络线。节点 3 的负荷和发电在同一节点合并为净 PQ 注入；后面的实验可改变出力并闭合联络线。

节点	设备与指定量	潮流节点类型
1	上级电源，电压固定为 1∠0° pu	平衡 / 参考节点
2	120 kW 负荷，功率因数 0.95 滞后	PQ
3	180 kW 负荷，功率因数 0.95 滞后；另接 50 kW、单位功率因数的分布式电源	PQ

节点 3 的逆变器按指定 P、Q 注入建模：P_G = 50 kW、Q_G = 0，不调节该节点的电压幅值。将发电与负荷合并为净注入后，节点 3 仍是 PQ 节点。

取 S_B = 1 MVA、V_LL,B = 0.4 kV，得到 Z_B = 0.16 Ω、I_B = 1443.38 A。线路每相阻抗如下：

线路	阻抗（Ω）	阻抗（pu）
1–2	0.012 + j0.008	0.075 + j0.050
2–3	0.008 + j0.006	0.050 + j0.0375
1–3，常开联络线	0.022 + j0.014	0.1375 + j0.0875

节点 1 是参考节点，节点 2、3 是 PQ 节点，因此四个未知量为 x = [θ₂, θ₃, v₂, v₃]^T。

写出注入并求解

1. 由功率因数得到无功需求。 Q_D = P_D tan(arccos 0.95)，得到节点 2 的无功为 39.44 kvar、节点 3 为 59.16 kvar。

2. 写出净注入。 S₂^spec = −0.120 − j0.03944 pu，S₃^spec = −0.130 − j0.05916 pu。50 kW 发电抵消部分有功负荷，不抵消无功负荷。

3. 计算第一步牛顿更新。 平坦起点的计算注入为零，所以偏差为 [−0.120, −0.130, −0.03944, −0.05916]^T。在该运行点构建 J，求解 Δx，再重复更新。

4. 核对结果。 基准例题得到

V₂

≈ 0.97559 pu、

V₃

≈ 0.96657 pu、θ₂ ≈ −0.2994°、θ₃ ≈ −0.4159°，总有功损耗 ≈ 6.8389 kW。平衡节点提供约 256.8389 kW，满足 256.8389 + 50 − 300 = 6.8389 kW。

先预测两个负荷都加倍会怎样，再选择下方的高负荷场景。比较电压下降与损耗，观察非线性变化。

4. 交互实验：改变运行点

每次先改变一个控制量。上方三相相量图显示节点 3 的电压，它与电网图、电压分布、线路负载率和牛顿迭代表都基于同一运行点更新。断开辐射型支路会形成孤岛；闭合联络线可以提供替代供电路径。

低压三节点馈线

400 V · 1 MVA

场景拓扑

箭头：有功方向；线宽：电流大小；红色与文字标记：越限。正无功注入表示支撑，负值表示吸收。

最低电压—

有功损耗—

平衡节点 P / Q—

正在初始化实验…

负荷倍率1 ×

负荷功率因数（滞后）0.95

节点 3 分布式发电50 kW

节点 3 无功注入0 kvar

电源电压1 pu

线路电阻倍率1 ×

线路电抗倍率1 ×

各线路电流限值450 A

断开 1–2 断开 2–3 断开 1–3

电压分布

线路电流负载率

0.95–1.05 pu 电压带和可调电流限值仅用于教学，不代表某个标准或设备的额定要求。

节点、线路与牛顿迭代的数值结果

节点	\|V\| (pu)	θ (°)	P (kW)	Q (kvar)

P、Q 是三相总净注入，正值表示发电，负值表示消耗。

线路	P from (kW)	I (A)	损耗 (kW)

迭代	‖ΔS‖∞ (pu)	\|V₂\| (pu)	\|V₃\| (pu)

5. 修改并运行 Python

把例题变成代码实验：先读输入字典 case，再查看定义求解器的源码，最后由 main() 组织求解与输出。先直接运行，核对例题的电压与损耗；再按代码注释改变一个参数。滑块实验使用原始 JavaScript 模型即时反馈，Python 区则运行下方可编辑的模型源码。

先看代码如何连接

case滑块提供输入字典
balanced_power_flow.py源码定义模型函数
main(case) → result主程序计算、打印并返回绘图结果

点击运行时，页面先复制当前控件为 case，再执行下方折叠的模型源码，最后执行可编辑的主程序。因此 main() 可以直接调用源码中的函数，无需另写导入语句。下面三部分按这个顺序阅读。

1 · 输入：展开 case 的当前参数与含义

这是下一次运行将使用的输入；改变上方控件会更新它。main() 中复制为 parameters 后修改，可测试一个新工况，而不改变控件。

正在读取参数…

参数	含义与单位
`load_scale`	同时乘在 120 kW、180 kW 基准负荷上的倍率。
`power_factor`	负荷功率因数，用于计算 Q = P tan(arccos(pf))。
`dg_kw / q_support_kvar`	节点 3 的固定发电注入：三相总有功 kW / 无功 kvar。
`slack_pu`	节点 1 电压幅值（pu），相角固定为 0°。
`r_scale / x_scale`	线路电阻 / 电抗的倍率。
`current_limit_a`	电流限值（A），用于求解后的越限检查。
`topology / open12 / open23 / open13`	radial 为辐射状、meshed 为带联络线；True 表示对应线路断开。

2 · 模型源码：balanced_power_flow.py（展开查看 / 修改）

依赖：cmath 用于复数相量，math 用于三角函数；两者都是 Python 标准库，不依赖 NumPy 或 pandapower。

这是本次 Python 实际执行的源码；按下表顺序可以把函数与本章公式对应起来。修改后，再运行主程序就会使用新源码。上方滑块实验继续使用原始 JavaScript 模型作为参照。

源码里的函数	负责什么
`network(options)`	输入参数 → 线路阻抗、Y 矩阵、指定 P/Q，并在内部换算为 pu。
`injections(y, vm, theta)`	Y 与电压估计 → 按 S = V(YV)* 计算节点 P/Q。
`jacobian(y, vm, theta)`	电压估计 → PQ 节点 2、3 的 P/Q 导数（4 × 4 雅可比）。
`linear_solve(matrix, rhs)`	J 与功率偏差 → 用高斯消元求 Newton 修正量 Δx。
`solve(options)`	调用以上函数并迭代，返回电压、潮流、损耗和越限检查。

balanced_power_flow.py · 可编辑的完整源码

3 · 主程序：main() 做什么？

主程序负责复制 / 修改输入 → 调用模型 → 检查求解状态 → 打印结果 → 返回结果。solved 是函数内部的结果字典；末尾的 result = main(case) 把它交给页面绘图。print() 只在输出区显示文字，不负责画图。

第一次先直接运行，核对本章例题。然后取消 parameters["q_support_kvar"] = 60 前的 #，比较无功支撑前后的电压和损耗。

main.py · 可编辑的实验主程序

下载求解器 .py

首次运行需联网下载 Python 环境；计算在浏览器内完成，不需安装软件。求解器只用 Python 标准库。

准备运行。

怎样读输出？

ok 表示数值求解是否收敛；buses 中的 vm_pu、theta_deg 是节点 1–3 的电压幅值与相角；loss_kw 是总有功损耗；slack_p_kw 是参考电源有功；violations 列出越限。收敛并不等于满足限值。

“下载实验”包含当前输入、当前模型源码和当前主程序，可以作为一个完整的 .py 文件运行。

输出将在这里显示。

6. 练习与解释

功率因数： 有功负荷保持不变，将功率因数从 0.95 降至 0.80。记录电流、最低电压与损耗，用 S = P + jQ 和 I = (S/V)* 解释变化。
无功支撑： 负荷倍率为 2.0 时，在节点 3 注入 60 kvar。与无支撑状态比较，能否消除所有电压越限？用实验验证。
N-1 拓扑： 在辐射型网络中断开线路 1–2，再在闭合联络线后重复。区分孤岛、收敛但越限、以及满足教学限值的状态。
编写扫描： 在 Python 中将负荷倍率从 0.5 扫描到 2.0，打印每步 V₃ 与损耗。保留最后一次成功求解的字典到 result，展示对应电压分布。

7. 模型范围与后续内容

本章是固定平衡节点电压、恒定 PQ 的平衡稳态教学模型，未包含相间不平衡、随电压变化的负荷、变压器与分接头、逆变器能力约束、电源容量限制、线路充电和保护。孤岛被标为超出单平衡节点模型范围，其 DG 不会自动转成构网电源。后续 Unbalanced Power Flow 将放宽三相对称假设，PandaPower-based Implementation 将扩展建模流程。

参考资料

MATPOWER：AC 潮流：节点类型与牛顿求解。
MATPOWER：功率注入的电压导数：解析电压灵敏度。
pandapower：平衡 AC 潮流：后续实现模块的算法接口。
Pyodide：在浏览器 Worker 内执行 Python：代码区运行方式。