Unbalanced Power Flow · 不平衡潮流

相同的总负荷，分配到三相之后，可能产生完全不同的电压结果。如果需求主要集中在 A 相，或者屋顶光伏只接入一相，会发生什么？本章保留三相与中性线，通过推导、例题和实验回答这些问题。

1. 从单相等值走向四导线模型

在 Balanced Power Flow 中，三相幅值相同，相角相差 120°，可以用一个等值相表示网络。单相用户和逆变器破坏了这一对称性：现在每一相都有自己的复功率、电压和电流。

不平衡负荷还会产生中性线返回电流。中性线阻抗有限时，当地中性点电压不再等于电源接地点电压。用户实际得到的是相线对当地中性点的电压，不能只看相线对电源参考点的电压。四线模型在低压配电分析中的意义，可参见 Claeys、Geth 与 Deconinck 的研究。

本章的模型假设

本章采用相域三相四线 AC 模型，方程和交互实验遵循以下假设：

• 正弦稳态： 电压与电流采用基波 RMS 复相量，不包含谐波。
• 辐射型网络： 保留 a、b、c 三根相线和 n 中性线，沿馈线逐支路计算电流与电压。
• 一个平衡理想电源： 电源三相电压幅值和相角固定，其中性点接地；下游中性点经中性线返回电源，没有额外接地或大地回流路径。
• 星形恒定 PQ 设备： 负荷逐相指定 P、Q，光伏按指定有功、Q = 0 注入；它们连接在相线与当地中性点之间，不调节节点电压。
• 串联四导线线路： 保留相线和中性线的电阻、电抗，以及可调的相间互电抗；相线与中性线互阻抗设为零，忽略并联支路和变压器。

这些假设描述通用模型。下面先用 i、j、k 推导方程，再在例题中定义具体馈线、节点编号和逐相负荷。

2. 推导相域潮流方程

步骤 A：区分导线电压与负荷端电压

采用 RMS 复数相量。V_i,a、V_i,b、V_i,c、V_i,n 分别表示四根导线对电源参考点的电压。星形负荷的端电压是：

设三相总容量基准为 S_B,3φ、线电压基准为 V_B,LL。功率按每相指定，因此需要对应的每相基准：

每相功率必须除以每相容量基准，而三相总功率除以三相总容量基准。例题中再代入具体数值，核对这两种换算。

步骤 B：把各相恒定 PQ 需求转换成电流

规定净需求为正表示消耗。本例光伏单位功率因数运行，所以 s_i,φ = (P_D,i,φ − P_PV,i,φ) + jQ_D,i,φ。这里的净需求符号与上一章的净注入符号相反。负荷无功为 Q_D = P_D tan(arccos PF)。

负荷四个端子的电流之和为零。理想的零阻抗中性线仍然可以流过非零电流。只有三相基波电流平衡时，返回电流才为零；本章没有包含谐波。

步骤 C：对四导线支路应用 KVL

将导线电压与电流组成四维向量，一般串联线路使用 4 × 4 阻抗矩阵：

交互模型使用对称矩阵：三相自阻抗相同，为 z_s；相间互阻抗 z_m = jx_m；中性线自阻抗为 z_n：

μ 控制相间互电抗与自电抗的比例。这是一组说明原理的参数，不是某种电缆的规格。设置 z_n = 0 会使本网络下游中性点电压为零，并不等于断开中性线。实际接地与中性线连接需要显式建模，可参见 OpenDSS 中性线约定。

步骤 D：用前推回代求解辐射型馈线

为什么这里从牛顿–拉夫逊换成前推回代？

上一章同样研究配电馈线。平衡／不平衡是相模型的选择，辐射／网状是拓扑的选择，牛顿–拉夫逊（NR）／前推回代（BFS）是求解方法的选择。 三者需要分别判断：不平衡潮流也可以用 NR，平衡的辐射馈线也可以用 BFS。

上一章选择 NR，是为了从节点导纳矩阵、P/Q 偏差推导通用的雅可比求解框架；其交互实验还允许闭合联络线形成回路。NR 通过联立方程处理全网电压修正，无需把网络限定成一棵树。

本章则固定为一个电源、辐射型馈线、恒定 PQ 设备。每个下游节点只有一条返回电源的路径，适合从末端汇总电流，再从电源沿线路更新电压。本章采用的是 BFS 的电流求和形式；径向电流回代与电压前推的基本过程可参见 MATPOWER 配电潮流说明。

表中讨论算法框架；本章的交互求解器实现的是辐射型四线 BFS。它每次把 a、b、c、n 四个分量一起计算，保留完整 4 × 4 阻抗矩阵和共享中性线关系，不是三次独立的单相计算。光伏反送可以改变电流正负，却不改变树形连接。

R/X 较大不意味着完整 NR 不能使用。 较大的电阻使保留有功、无功和电压的交叉耦合更重要；不要把完整 NR 与采用弱耦合近似的快解耦法混为一谈。两章的求解器都保留 R、X，没有采用 X ≫ R 的近似。

BFS 的优势在这里是结构清楚、便于展示四线返回路径，并非保证所有工况下更快或更容易收敛。重负荷与较大压降会影响收敛，所以本章加入阻尼并检查残差。闭合回路需要回路补偿等扩展；PV 节点（指定 P 和电压幅值）还需要额外的无功／电压更新。本章的光伏采用固定 PQ 注入。BFS 和 NR 的迭代失败都不能单独证明潮流无解。

下面把这种电流求和过程写成具体的四线更新公式。

将所有节点初始化为电源相量，然后重复：

1. 根据当前相对中性点电压，计算每个负荷的四端子电流。
2. 回代： 从末端向电源汇总下游电流，得到各支路电流。
3. 前推： 从电源节点出发，沿馈线应用四线 KVL，更新导线电压。

用通用的 i → j → k 链说明一次更新：i 是电源，j、k 连接负荷，k 是末端。每个电压与电流向量都含 a、b、c、n 四个分量。

实现使用 α = 0.65 的阻尼更新：

停止条件是最大复数导线电压残差 ‖V^sweep − V‖∞ 小于 10⁻¹⁰ pu。达到 200 次更新或出现过低、非有限电压时报告失败。算法失败本身不能证明电压崩溃或不存在其他解。支路断开另行报告为超出单电源模型范围的孤岛。

步骤 E：计算各导线损耗

本模型的互阻抗是纯电抗，因此采用物理单位时，全部导线的有功损耗为：

电流用 A、电阻用 Ω，结果为 W。不要再次乘三，式中已经包含三相电流。将支路两端注入的四导线功率相加，也会得到同样的总损耗；应保留中性线导体对应的项。

步骤 F：把三相电压分解为序分量

序分量是什么？

潮流先求出同一节点的三个复电压相量 Uₐ、Uᵦ、U𝒸。序分量是这三个相量的另一种坐标表达：把它们写成三组具有固定相位关系的相量之和。它不增加物理导线，也不是把基波分成三个不同频率。

采用 ABC 相序，令 a = e^j120°。a 表示逆时针旋转 120°，a² 表示旋转 240°（等价于 −120°）。三种模式分别是正序、负序和零序；其相序约定见 MIT 的序分量讲义。

U₀、U₁、U₂ 的下标是序分量编号，不是节点编号。 每个数是该序的 A 相代表相量。例如，U₁ 是一个复数，完整的正序三相是 [U₁, a²U₁, aU₁]。正序对应正常 ABC 次序，负序对应反向 ACB 次序；零序三相大小和相角完全相同。

为什么恰好是这三种？

三个任意复电压需要三个独立的复系数来表达。循环轮换三相三次后回到原位，其三种独立模式对应方程 λ³ = 1 的三个根：1、a、a²。因此“同相”“ABC”“ACB”构成一组完整的基，可以唯一表示任意三相相量。

从潮流电压到序分量，再回到三相

变换使用复数而不是只有幅值的三个实数。若已有幅值与角度，先转换 U_φ = |U_φ|e^jθφ。ABC 约定下的分解与逆变换如下，亦见 SEL 的序分量教程：

U₀ 是三相复电压的平均值；求 U₁ 时先把 B、C 相按 a、a² 旋转，再平均，使正序对齐、其余模式相消；U₂ 使用反向旋转。重构时相加的是复数，幅值不能直接相加。 使用统一的相电压基准，pu 与伏特两种单位都满足同样的线性变换。

零序电压与中性点偏移有什么关系？

保持源端参考不变，Vₐ、Vᵦ、V𝒸 是相导线电压，Vₙ 是当地中性点电压；负荷实际看到 U_φ = V_φ − Vₙ。公共的 −Vₙ 只进入零序：

所以 U₀ 不是 Vₙ，也不能一般地把 U₀ 写成 −Vₙ；相导线本身可能已有非零 V₀。若同一支路四根导线电流都以源端指向末端为正，I₀ = (Iₐ + Iᵦ + I𝒸)/3，而 Iₙ = −3I₀。这是电流返回关系，不是零序电压等于中性点电压的依据。

本章使用的电压不平衡因子为：

它只量化负序相对正序的幅值；零序、绝对电压幅值与中性点偏移应分别查看。它也不同于 OpenDSS 所说明的 NEMA 幅值偏差指标。改变相角而保持三个幅值不变，同样可能产生负序。

3. 例题：总负荷仍为 300 kW，三相分配不同

建立馈线与节点设置

考虑一个 400 V 三节点辐射型配电馈线。节点 1 是上级电源，经线路 1–2 连接节点 2，再经线路 2–3 连接末端节点 3。每条线路均包含 a、b、c、n 四根导线，本例没有联络线。

节点 3 的光伏采用固定 P、Q 注入：基准工况将 50 kW 在三相均分，各相 Q = 0，不调节电压。该节点的逐相净需求由负荷减去光伏注入得到。上方相量图观测的就是此处的相对当地中性点电压。

代入基准与线路参数

取三相总容量基准 1 MVA、线电压基准 400 V，得到每相容量基准 333.333 kVA、相电压基准约 230.94 V、Z_B = 0.16 Ω、I_B = 1443.38 A。一个 90 kW 单相负荷在每相容量基准上为 0.27 pu；90 kW 三相总负荷在三相总容量基准上才是 0.09 pu。

线路每根导线的自阻抗及相间互阻抗如下：

写出逐相需求并求解

1. 形成逐相净需求。 光伏每相供应 50/3 kW，因此节点 3 的净有功需求为 73.333 / 38.333 / 18.333 kW。无功需求仍为 P_D,φ tan(arccos 0.95)，本例光伏不供应无功。

2. 求电流与返回路径。 将复需求除以各自的相对当地中性点电压，再取共轭。把三相电流按复数相量相加，得到中性线返回电流。直接把电流幅值相加会得到错误结果。

3. 迭代并核对运行点。 基准例题得到节点 3 的负荷端电压：

中性点偏移约 7.637 V；支路 1–2 的中性线电流约 242.81 A。总有功损耗为 9.5971 kW，参考电源供应 259.5971 kW，满足 259.5971 + 50 − 300 = 9.5971 kW。节点 3 的 VUF 仅为 0.9028%，但 A 相已经低于实验中的 0.95 pu 教学限值。

把算出的电压分解，再核对重构

4. 使用同一组复电压。 将上表的幅值与相角一起转换为复数，再代入序分量矩阵。节点 3 的结果如下；计算使用未舍入的潮流电压，表中仅显示近似值。

例如 A 相不需要额外旋转，直接把三个代表系数相加：

取幅值与相角就回到约 0.91917∠0.118° pu。B、C 相先按逆变换旋转正序和负序项，再相加。下方的分解器可逐相核对，不必另跑一个潮流。

由上表可得 VUF ≈ 0.9028%，但 |U₀|/|U₁| ≈ 4.3466%。这解释了为什么只看 VUF 会遗漏本例明显的零序和逐相电压偏差。这里的 |U₀| ≈ 9.7135 V，而 |Vₙ| ≈ 7.6370 V，两者不是同一个量。

选择下方的相同总负荷，均分三相，将节点 3 改为 60 / 60 / 60 kW，保持总负荷与光伏不变。同时观察中性线电流、中性点偏移、逐相电压和损耗。若要精确复现上一章例题，还应把 μ 设为零，使平衡三相看到相同的无互耦串联阻抗。

4. 交互实验：改变一相，观察三相

拖动各相负荷、切换光伏接入相，或者比较有限与理想中性线。电网图、相量图、电压分布、电流负载率和数值表均使用同一个求解运行点。电压带、VUF 阈值与电流限值是教学设置，不是标准合规评估。

5. 修改并运行四线求解器

先看逐相输入怎样进入四线模型，再由 main() 调用求解器并读取结果。直接运行默认程序后，取消 parameters.update(p3_a_kw=60, p3_b_kw=60, p3_c_kw=60) 前的注释，在保持节点 3 总负荷 180 kW 的条件下比较三相电压、VUF 与中性点偏移。滑块保留原始 JavaScript 模型作为参照；Python 区运行可编辑的四线源码。

正在读取参数…

输出将在这里显示。

用 Python 验证序分量与重构

把 main 主程序整体替换为下面代码。solve、sequence、reconstruct_sequence 都在上方可折叠的完整求解器源码中；它们依次负责潮流求解、相量分解和逆变换。u_pu 是 [实部, 虚部]，因此要用 complex(*pair) 读取，不能把 vm_pu 的幅值当成复电压。

def main(input_case):
    # 1. 求解当前滑块工况；失败时不做分解。
    solved = solve(input_case)
    if not solved["ok"]:
        print("Power flow failed:", solved["reason"])
        return solved

    # 2. 读取节点 3 的三相对当地中性点复电压。
    bus = solved["buses"][2]  # zero-based index 2 -> bus 3
    phases = [complex(*phase["u_pu"]) for phase in bus["phases"]]

    # 3. 分解为 A 相代表的零、正、负序系数。
    components = sequence(phases)
    for name in ("zero_pu", "positive_pu", "negative_pu"):
        coefficient = complex(*components[name])
        print(name, coefficient, "|U| =", abs(coefficient), "pu")

    # 4. 逆变换回 ABC，并与原电压逐相比较。
    rebuilt = reconstruct_sequence(components)
    for label, original, recovered in zip("ABC", phases, rebuilt):
        print(label, "solved =", original, "rebuilt =", recovered)
    error = max(abs(u - restored) for u, restored in zip(phases, rebuilt))
    print("Maximum reconstruction error:", error, "pu")

    # 保留完整潮流结果，供页面绘制电压曲线。
    return solved

result = main(case)

比较光伏接入相

完成默认实验后，可以将主程序整体替换为下面的扫描程序，在其余输入固定时比较光伏接入相。它把最后一次成功求解的结果交给页面绘图：

def main(input_case):
    last_successful = None
    for connection in ("balanced", "a", "b", "c"):
        trial = dict(input_case, dg_phase=connection)
        solved = solve(trial)
        if solved["ok"]:
            end = solved["buses"][2]  # Bus 3
            print(connection, end["components"]["vuf_pct"], end["neutral_v"])
            last_successful = solved
        else:
            print(connection, solved["reason"])
    return last_successful

# 返回 None 时，输出仍可读，页面不绘制电压图。
result = main(case)

6. 练习与解释

1. 中性线耦合： 设置 μ = 0，保持有限中性线阻抗，将 A 相负荷增加 10 kW，记录三相电压。再采用理想中性线重复，用共享中性线矩阵项解释差别。
2. 总需求相同： 比较 90 / 55 / 35 kW 与 60 / 60 / 60 kW，保持功率因数、光伏出力与接入方式、阻抗不变。解释中性线损耗与最低电压的变化。
3. 一个指标不够： 找到 VUF 小于 2%，但某相电压超出 0.95–1.05 pu 的收敛运行点。用 U₀、U₂ 和中性点偏移讨论 VUF 的含义与局限。
4. 单相光伏： 将 50 kW 依次接在 A、B、C 相，判断在当前运行点哪个方案更能改善最低电压，再在高负荷时重复。不要预先假设所有工况的最佳接入相都相同。

5. N-1 标签： 断开支路 2–3，区分孤岛、算法不收敛、以及连通但越限的状态。固定 PQ 光伏不会在馈线断开后自动成为构网电源。

6. 序分量与参考： 先选电源节点，解释为何只剩正序。再选基准工况的末端节点，切换 U 与 V，核对 U₀ = V₀ − Vₙ。分别重构 A、B、C，相角旋转系数为什么不同？

7. 适用范围与后续实现

本章是基波、辐射型教学模型，不包含三角形负荷、电压相关负荷、不对称导线几何、相线与中性线互阻抗、下游接地与大地回流、变压器、调压器、谐波、逆变器能力限值或动态与保护行为。支路断开时四根导线同时断开，没有建模仅中性线断开的故障。孤岛在本模型中没有电压参考。

在 PandaPower-based Implementation 中，我们将设备映射到库函数，并明确比较工具的建模假设。pandapower runpp_3ph 文档说明了序域求解和大地回流、星形连接约定。在匹配这些假设之前，不应认为其结果会与本章显式中性线模型一致。

参考资料

• Claeys、Geth、Deconinck：四线配电网络建模。
• OpenDSS：中性线连接约定。
• OpenDSS：基于幅值偏差的 NEMA 不平衡指标。
• pandapower：三相不平衡潮流。