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L05 / 单相交流电路

单相交流电路 I

在正弦波形与 RMS 相量之间转换，练习极坐标、直角坐标和相量加法。

已完成34 页 slides

本讲定稿课件

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按原课件的页序阅读讲解、图示、推导与例题，再使用本讲下方的配套实验。

L05 原课件第 1 页，共 34 页
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图形与页序来自本讲学生版 PDF。

01 / UNDERSTAND

从一条波形到一个相量

一个电压同时写作 120 V 和 169.7 V，为什么两者都可以正确？先回答原 slides 的起始问题。

v(t) = 120√2 cos(377t + 30°) V
这个电压的 RMS 值是多少？

学完本讲，你应能区分峰值与 RMS，把正弦波形转换为极坐标或直角坐标相量，判断超前/滞后，并将两个相容的电压相量相加后还原成波形。

同一个电压的三种表示：峰值波形、RMS 极坐标相量和 RMS 直角坐标相量
三种表示描述同一信号。时域系数是峰值；相量幅值采用 RMS。图中波形示意不按数值比例绘制。

1. 声明参考与单位

v(t) = √2 Vᵣₘₛ cos(ωt + φ), ω = 2πf

本讲采用余弦参考、RMS 相量和度数输入。公式计算相位时将度转换为弧度。ω 的单位是 rad/s；f 的单位是 Hz；周期 T = 1/f。

2. 理解 RMS

Vᵣₘₛ² = (1/T) ∫ v²(t) dt = V̂²/2

利用 cos²θ = (1 + cos2θ)/2，整周期平均后振荡项为零。因此正弦信号 V̂ = √2 Vᵣₘₛ。RMS 对应在同一电阻上产生相同平均发热的直流电压。

3. 选择计算形式

V = Vᵣₘₛ ∠φ = a + jb; a = Vᵣₘₛ cosφ; b = Vᵣₘₛ sinφ

相加时分别加实部与虚部。反向转换用 √(a² + b²) 和 atan2(b, a)，以保留正确象限。只有两个相量同方向时，幅值才直接相加。

4. 判断超前与滞后

Δφ = φV − φI

同频率下，+30° 电压相对于 −20° 电流超前 50°。正相位使波形相对于零相位余弦向左移。比较时采用 −180° 到 180° 的主值；相差 180° 时二者反相，不指定唯一的超前/滞后方向。

相加前先检查：同一频率、同一物理量与单位、同一 RMS/峰值约定、同一余弦参考与角度基准。电压与电流可以比较相位；它们不能相加成一个电压相量。

原讲义例题 CE-2A：转换 → 相加 → 重建

给定上述 vₛ(t)，另有 i(t) = 10√2 cos(377t − 20°) A 和 Vₓ = 40∠−60° V。下面保留原 slides 的步骤与数值；显示值取三位小数，计算保留完整精度。

  1. 取 RMS，保留相位Vₛ = 120∠30° V; I = 10∠−20° A; φV − φI = 50°.
  2. 转换为直角坐标Vₛ = 103.923 + j60.000 V; Vₓ = 20.000 − j34.641 V.
  3. 分别加实部和虚部Vₜ = 123.923 + j25.359 V = 126.491∠11.565° V.
  4. 还原波形并核对vₜ(t) = 126.491√2 cos(377t + 11.565°) V; V̂ₜ = 178.885 V.

原讲义使用 ω = 377 rad/s，对应 f ≈ 60.001 Hz，显示为 60.0 Hz。实验沿用 377，避免把舍入值当成新的精确输入。

对照原始 slide 标题32
  1. 1Lecture outline
  2. 2Starting problem
  3. 3Starting-problem solution
  4. 4Sinusoid
  5. 5Waveform magnitudes
  6. 6Frequency and period
  7. 7What phase means
  8. 8Read phase from the time curve
  9. 9Phase difference
  10. 10RMS
  11. 11RMS derivation
  12. 12Three equivalent representations
  13. 13Time domain to polar form
  14. 14Polar form to time domain
  15. 15Polar form to rectangular form
  16. 16Rectangular form to polar form
  17. 17Choose polar or rectangular form
  18. 18Before adding, confirm compatibility
  19. 19Phasor addition is component addition
  20. 20Phasor addition as vectors
  21. 21CE-2A setup
  22. 22CE-2A Step 1
  23. 23CE-2A Step 2
  24. 24CE-2A Step 3
  25. 25CE-2A Step 4
  26. 26CE-2A Step 5
  27. 27CE-2A Step 6
  28. 28Practice problem
  29. 29Rectangular addition
  30. 30Polar reconstruction
  31. 31RMS waveform reconstruction
  32. 32Phasor summary

02 / PREDICT & EXPLORE

让相量与波形一起变化

先预测：把 Vₓ 的相位改成与 Vₛ 相同，合成 RMS 是否等于 120 + 40？若同幅反相，合成相角还能定义吗？然后用实验检验。

合成 RMS126.491 V
合成相角11.565°
合成峰值178.885 V
f / T60.001 Hz / 16.666 ms

正在准备实验。

RMS 相量：首尾相加

Vₓ 平移到 Vₛ 的终点。相量以 t = 0 的相位为参考，不随观察时刻旋转。

时域：同频率电压叠加

Vₛ / vₛVₓ / vₓVₜ / vₜ

当前计算：直角坐标 → 相量 → 波形
只比较电压与电流的相位
两条曲线分别除以各自峰值，仅比较相位；归一化曲线不表示相同物理单位或相同幅值。电流 RMS 保持 10 A。
  1. 只改变 ω：波形的时间尺度如何变化？相量的幅值与相角是否改变？
  2. 让 Vₓ 从 −60° 转到 +30°，解释为何合成幅值变化，而不是直接等于两个幅值之和。
  3. 选择“同幅反相”。检查合成电压、RMS 和相角，并解释零向量为何没有方向。
03 / EDIT & COMPUTE
修改 Python，重现并检验结果
代码与滑块共用同一组输入。先运行基准代码，检查波形与 RMS；再修改相位或模型。学生代码的结果单独绘制，可与当前参考模型比较。
case 是点击运行时的参数快照。调用 solve(case)，将最终解赋给 result，即可绘制代码结果。
 
下载模型
首次运行需联网下载 Python 环境。计算在浏览器内完成，求解器只用 Python 标准库。
准备运行。
输出将在这里显示。
查看并编辑模型源码（进阶）
这里的相量转换、复数加法和波形重建函数会在下一次运行时执行。可以修改计算方法，再比较数值积分得到的 RMS 与相量幅值。参数实验始终保留原始参考模型。
动手修改：在 solve(case) 之前加入 case["vx_angle_deg"] = case["vs_angle_deg"]，预测合成 RMS 后运行。然后载入相位扫描，将 Vₓ 从 −180° 到 180° 扫描，并解释输出中的最大值与最小值。
代码结果不同可能来自修改后的输入或计算方法。比较时先核对输入，不把所有差异都当作程序错误。
04 / CHECK & EXPLAIN
独立完成讲义练习 CE-2D
vₐ(t) = 80√2 cos(377t − 25°) V; vᵦ(t) = 60√2 cos(377t − 70°) V
求 V꜀ = Vₐ + Vᵦ 及 v꜀(t)。这道题采用上述固定输入，不随实验滑块变化。先写出直角坐标分量，再求 RMS、相角与峰值。
电压容差 ±0.05 V，相角容差 ±0.05°。相角按 360° 周期等价比较。
 
以下哪一对可以直接用本讲方法进行相量相加？
用自己的话解释
  1. 为什么相量幅值用 RMS，而重建波形时需要乘 √2？
  2. 为什么 ω 改变时，相量结果不变，而波形时间尺度改变？
  3. 你的 Python 修改改变了输入、表示方式，还是物理模型？如何检查？
下一讲 L06 将把这里的电压与电流相量连接到有功、无功和复功率。
依据：L05_single_phase_ac_i/L05_single_phase_ac_i.pdf · 起始问题、CE-2A、CE-2D 与原 slides 对齐。网页图解与参数实验由课程平台绘制。模型仅考虑同频率正弦量。